Demonstrar que, num paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da soma das medidas das arestas é igual à soma do quadrado da diagonal com a área total.

resposta: demonstração.

Nesse caso o paralelepípedo é chamado RETO RETÂNGULO:
●RETO significa: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.

As faces laterais de todo prisma reto são sempre retângulos

.
●RETÂNGULO significa: suas bases são retângulos. Poderia ser chamado retangular.

Observação importante: Se você ainda não viu como calcular a diagonal de um paralelepípedo retangular reto veja este exercício sobre diagonal do prisma retangular reto.

Resolução:

Queremos provar que a soma das medidas das arestas elevada ao quadrato é igual ao quadrado da diagonal somado à área total.

Hipótese:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{prisma reto retangular} & \\ \mbox{dimensões }\,a,\, b \mbox{ e }c\phantom{XX}\; &\\ \mbox{diagonal }\,D\phantom{XXXXX}\;\, & \\ \mbox{área total }\,A_{\large t}\phantom{XXXXX} & \end{array} \right.\,$

Tese:

$\,\lbrace(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\;$

1.$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,+\,c^2\,+\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\;\Rightarrow\phantom{XX}$(I)
2.$\,D\,=\,\sqrt{a^2\,+\,b^2\,+\,c^2}\phantom{XX}$(II)
3.$\,A_{\large t}\,=\,2(ab\,+\,bc\,+\,ac)\,=\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\phantom{XX}$(III)
então substituindo em (I) as assertivas (II) e (III) temos que:
$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\, $

c.q.d.

Fatorar: $\phantom{X}a^2\,+\,6a\,+\,9\phantom{X}$

resposta: a² + 6a + 9 = a² + 2 . a . 3 + 3² = (a + 3)²
×

Fatorar: $\phantom{X}25x^2\,+\,70x\,+\,49\phantom{X}$

resposta: 25x² + 70x + 49 = (5x)² + 2 . 5x . 7 + 7² = (5x + 7)²
×

Sabendo que $\phantom{X}a\,+\,\dfrac{1}{a}\,=\,3\phantom{X}$, calcular o valor de $\phantom{X}a^2\,+\,\dfrac{1}{a^2}\phantom{X}$

resposta: Resolução:
$\,a\,+\,\dfrac{1}{a}\,=\,3\;\Rightarrow$ $\;\left(a\,+\,\dfrac{1}{a}\right)^2\,=\,9\;\Leftrightarrow$ $\;a^2\,+\,2\,\centerdot\,a\,\centerdot\,\dfrac{1}{a}\,+\,\dfrac{1}{a^2}\,=\,9\;\Leftrightarrow$ $\;a^2\,+\,2\,+\,\dfrac{1}{a^2}\,=\,9\;\Leftrightarrow$ $\;a^2\,+\,\dfrac{1}{a^2}\,=\,9\,-\,2\,=$ $\,7$
×

Simplificar as expressões abaixo, admitindo que todos os denominadores são diferentes de zero.

$\;\dfrac{\;x^2\,+\,2xy\,+\,y^2}{x^2\,-\,y^2}\;$

$\;\dfrac{a^3\,-\,1}{a^2\,-\,1}\;$

$\;\dfrac{m^3\,+\,n^3}{m^3\,-\,m^2n\,+\,mn^2}\;$

$\;\dfrac{x^3\,+\,3x^2y\,+\,3xy^2\,+\,y^3}{x^3\,+\,y^3}\,\div\,\dfrac{x^2\,+\,2xy\,+\,y^2}{x^2\,-\,xy\,+\,y^2}\;$

resposta:

$\,\frac{x+y}{x-y}\,$

$\,\frac{a^2+a+1}{a+1}\,$

$\,\frac{m+n}{m}$